Przejdź do zawartości

Baza Schaudera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Baza Schaudera – ciąg elementów przestrzeni Banacha o tej własności, że dla każdego elementu przestrzeni istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów że

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera – Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera, który podał konstrukcję bazy przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale jednostkowym.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera Jeżeli to funkcjonał

jest normą oraz Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni

Kryterium Grünbauma

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Banacha. Ciąg punktów p. jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. istnieje taka liczba że dla każdego ciągu skalarów oraz dla każdych takich liczb naturalnych i że spełniona jest nierówność

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Ciąg gdzie oraz dla jest bazą Schaudera (nazywaną często bazą kanoniczną) dla przestrzeni c0, p oraz przestrzeni Jamesa przy (przestrzeń jest izomorficzna z wtedy i tylko wtedy, gdy ). Ciąg gdzie stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
  • Jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
  • Twierdzenie Schaudera: układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni Lp dla
  • Twierdzenie Schaudera: układ Schaudera w przedziale stanowi bazę Schaudera przestrzeni

Rodzaje baz Schaudera

[edytuj | edytuj kod]

Bazy Schaudera mogą mieć dodatkowe własności, które w pewnym stopniu opisują geometrię rozważanej przestrzeni Banacha. Niech będzie bazą Schaudera przestrzeni Banacha Baza ta jest nazywana

  • ściągającą (ang. shrinking), gdy układ funkcjonałów stowarzyszonych z tą bazą jest bazą Schaudera przestrzeni sprzężonej
  • ograniczenie zupełną (ang. boundedly complete), gdy dla każdego ciągu skalarów dla którego istnieje taka stała dla każdej liczby naturalnej szereg jest zbieżny w
  • bezwarunkową (ang. unconditional), gdy każdy szereg zbieżny jest bezwarunkowo zbieżny.

Każda przestrzeń Banacha mająca bazę ograniczenie zupełną jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną pewnej przestrzeni Banacha. Przykładami baz bezwarunkowych są kanoniczne bazy przestrzeni i Jeżeli jest taką zwartą przestrzenią metryczną, że nie jest izomorficzne z to nie ma bazy bezwarunkowej.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

W.B. Johnson i H.P. Rosenthal udowodnili, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha zawiera taką podprzestrzeń że przestrzeń ilorazowa ma bazę Schaudera[2].

Układy biortogonalne

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera Dla każdej liczby naturalnej funkcjonał liniowy określony wzorem

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, funkcjonały spełniają warunek

(zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą ). Układ jest układem biortogonalnym w przestrzeni Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie głównie w teorii nieośrodkowych przestrzeni Banacha.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]